Control and perturbation in Sturm — Liouville’s problem with discontinuous nonlinearity
DOI:
https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.212Abstract
We consider the Sturm — Liouville problem with discontinuous nonlinearity, control and perturbation. Previously obtained results for equations with a spectral parameter and a discontinuous operator are applied to this problem. By the variational method, we have established theorems on the existence of solutions to the Sturm — Liouville problem with discontinuous nonlinearity and to the optimal control problem, as well as on topological properties of the set of the acceptable “control — state” pairs. A one-dimensional analog of the Gol’dshtik model for separated flows of an incompressible fluid with control and perturbation is given as an application.
Keywords:
Sturm—Liouville’s problem, discontinuous nonlinearity, control problems, variational method, Gol’dshtik’s model
Downloads
Download data is not yet available.
References
Литература
Потапов Д. К. Управление спектральными задачами для уравнений с разрывными операторами // Труды Ин-та математики и механики Уральского отделения РАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 190-200.
Потапов Д. К. О разрешимости задачи управления для одного класса уравнений с разрывными операторами и спектральным параметром // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2011. № 2. С. 36-39.
Потапов Д. К. Задачи управления системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром, внешним возмущением и разрывной нелинейностью // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 1. С. 55-57.
Потапов Д. К. Задачи управления для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором при наличии возмущений // Журн. Сиб. федерального университета. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5. Вып. 2. С. 239-245.
Потапов Д. К. О существовании решения задачи управления с возмущением для одного класса уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2012. № 1. С. 12-15.
Потапов Д. К. О связи управления и состояния в спектральных задачах для уравнений с разрывными операторами // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 5-1. С. 104-105.
Потапов Д. К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 2013. № 2. С. 19-24.
Будак Б. М., Беркович Е. М. О задачах оптимального управления для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Журн. вычислит. математики и матем. физики. 1971. Т. 11. № 1. С. 51-64.
Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm - Liouville boundary value problems // J. Inequal. Appl. 2005. N 4. P. 403-412.
Bonanno G., Bisci G. M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities // Bound. Value Probl. 2009. Art. ID 670675. 20 p.
Bonanno G., Buccellato S. M. Two point boundary value problems for the Sturm - Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities // Taiwanese J. Math. 2010. Vol. 14. N 5. P. 2059-2072.
Потапов Д. К. Задача Штурма - Лиувилля с разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50. № 9. С. 1284-1286.
Потапов Д. К. Существование решений, оценки дифференциального оператора и "разделяющее" множество в краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка с разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 970-974.
Bonanno G., D'Agui G., Winkert P. Sturm - Liouville equations involving discontinuous nonlinearities // Minimax Theory Appl. 2016. Vol. 1. N 1. P. 125-143.
Павленко В. Н., Постникова Е. Ю. Задача Штурма - Лиувилля для уравнения с разрывной нелинейностью // Челябинск. физ.-матем. журн. 2019. Т. 4. Вып. 2. С. 142-154.
Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / пер. с франц. А. И. Штерна. М.: Наука, 1987. 368 с.
Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings // Journal of Differential Equations. 1983. Vol. 49. N 1. P. 1-28.
Павленко В. Н., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 911-919.
Потапов Д. К. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Известия РАЕН. Сер. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. 2004. Т. 8. № 3-4. С. 163-170.
Потапов Д. К. Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. Т. 14. № 3. С. 291-296.
References
Potapov D. K. Upravlenie spektral'nymi zadachami dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [Control of spectral problems for equations with discontinuous operators]. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki Ural'skogo otdeleniia RAN [ Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Supplementary issues) ], 2011, vol. 17, no. 1, pp. 190-200. (In Russian)
Potapov D. K. O razreshimosti zadachi upravleniia dlia odnogo klassa uravnenii s razryvnymi operatorami i spektral'nym parametrom [On resolvability of a control problem for one class of equations with discontinuous operators and a spectral parameter]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia Sistemnyi analiz i informatsionnye tekhnologii [ Proceedings of Voronezh State University. Series Systems Analysis and Information Technologies ], 2011, no. 2, pp. 36-39. (In Russian)
Potapov D. K. Zadachi upravleniia sistemami ellipticheskogo tipa vysokogo poriadka so spektral'nym parametrom, vneshnim vozmushcheniem i razryvnoi nelineinost'iu [Control problems for higher-order systems of elliptic type with a spectral parameter, an external perturbation, and a discontinuous nonlinearity]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [ Bulletin of Voronezh State Technical University ], 2012, vol. 8, no. 1, pp. 55-57. (In Russian)
Potapov D. K. Zadachi upravleniia dlia uravnenii so spektral'nym parametrom i razryvnym operatorom pri nalichii vozmushchenii [Control problems for equations with a spectral parameter and a discontinuous operator under perturbations]. Zhurnal Sibirskogo federal'nogo universiteta. Seriia Matematika i fizika [ Journal of Siberian Federal University. Series Mathematics and Physics ], 2012, vol. 5, iss. 2, pp. 239-245. (In Russian)
Potapov D. K. O sushchestvovanii resheniia zadachi upravleniia s vozmushcheniem dlia odnogo klassa uravnenii so spektral'nym parametrom i razryvnym operatorom [Existence of solution to control problems with perturbations for a class of equations with spectral parameter and discontinuous operator]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia Sistemnyi analiz i informatsionnye tekhnologii [ Proceedings of Voronezh State University. Series Systems Analysis and Information Technologies ], 2012, no. 1, pp. 12-15. (In Russian)
Potapov D. K. O sviazi upravleniia i sostoianiia v spektral'nykh zadachakh dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [On dependence between control and state in spectral problems for equations with discontinuous operators]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [ Bulletin of Voronezh State Technical University ], 2013, vol. 9, no. 5-1, pp. 104-105. (In Russian)
Potapov D. K. Optimal'noe upravlenie raspredelennymi sistemami ellipticheskogo tipa vysokogo poriadka so spektral'nym parametrom i razryvnoi nelineinost'iu [Optimal control of higher order elliptic distributed systems with a spectral parameter and discontinuous nonlinearity]. Izvestiia RAN. Teoriia i sistemy upravleniia [ Journal of Computer and Systems Sciences International ], 2013, no. 2, pp. 19-24. (In Russian)
Budak B. M., Berkovich E. M. O zadachakh optimal'nogo upravleniia dlia differentsial'nykh uravnenii s razryvnymi pravymi chastiami [Optimal control problems for differential equations with discontinuous right sides]. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki [ USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics ], 1971, vol. 11, no. 1, pp. 51-64. (In Russian)
Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm - Liouville boundary value problems. J. Inequal. Appl., 2005, no. 4, pp. 403-412.
Bonanno G., Bisci G. M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities. Bound. Value Probl., 2009, Art. ID 670675, 20 p.
Bonanno G., Buccellato S. M. Two point boundary value problems for the Sturm - Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities. Taiwanese J. Math., 2010, vol. 14, no. 5, pp. 2059-2072.
Potapov D. K. Zadacha Shturma - Liuvillia s razryvnoi nelineinost'iu [Sturm - Liouville's problem with discontinuous nonlinearity]. Differentsial'nie uravneniia [ Differential Equations ], 2014, vol. 50, no. 9, pp. 1284-1286. (In Russian)
Potapov D. K. Sushchestvovanie reshenii, otsenki differentsial'nogo operatora i "razdeliaiushchee’’ mnozhestvo v kraevoi zadache dlia differentsial'nogo uravneniia vtorogo poriadka s razryvnoi nelineinost'iu [Existence of solutions, estimates for the differential operator, and a "separating" set in a boundary value problem for a second-order differential equation with a discontinuous nonlinearity]. Differentsial'nie uravneniia [ Differential Equations ], 2015, vol. 51, no. 7, pp. 970-974. (In Russian)
Bonanno G., D'Agui G., Winkert P. Sturm - Liouville equations involving discontinuous nonlinearities. Minimax Theory Appl., 2016, vol. 1, no. 1, pp. 125-143.
Pavlenko V. N., Postnikova E. Yu. Zadacha Shturma - Liuvillia dlia uravneniia s razryvnoi nelineinost'iu [Sturm - Liouville problem for an equation with a discontinuous nonlinearity]. Cheliabinskii fiziko-matematicheskii zhurnal [ Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal ], 2019, vol. 4, iss. 2, pp. 142-154. (In Russian)
Lions Zh.-L. Upravlenie singuliarnymi raspredelennymi sistemami [ Control of distributed singular system ]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 368 p. (In Russian)
Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings. Journal of Differential Equations, 1983, vol. 49, no. 1, pp. 1-28.
Pavlenko V. N., Potapov D. K. O sushchestvovanii lucha sobstvennykh znachenii dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [Existence of a ray of eigenvalue for equations with discontinuous operators]. Sibirskii matematicheskii zhurnal [ Siberian Mathematical Journal ], 2001, vol. 42, no. 4, pp. 911-919. (In Russian)
Potapov D. K. Matematicheskaia model' otryvnykh techenii neszhimaemoi zhidkosti [Mathematical model for separated flows of incompressible fluid]. Izvestiia RAEN. Seriia Matematika. Matematicheskoe modelirovanie. Informatika i upravlenie [ Proceedings of RANS. Series Mathematics. Mathematical Modeling. Informatics and Control ], 2004, vol. 8, no. 3-4, pp. 163-170. (In Russian)
Potapov D. K. Nepreryvnaia approksimatsiia odnomernogo analoga modeli Gol'dshtika otryvnykh techenii neszhimaemoi zhidkosti [Continuous approximations for a 1D analog of the Gol'dshtik model for separated flows of an incompressible fluid]. Sibirskii zhurnal vychislitel’noi matematiki [ Numerical Analysis and Applications ], 2011, vol. 14, no. 3, pp. 291-296. (In Russian)
Downloads
Published
2023-07-27
How to Cite
Baskov, O. V., & Potapov, D. K. (2023). Control and perturbation in Sturm — Liouville’s problem with discontinuous nonlinearity. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 19(2), 275–282. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.212
Issue
Section
Control Processes
License
Articles of "Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes" are open access distributed under the terms of the License Agreement with Saint Petersburg State University, which permits to the authors unrestricted distribution and self-archiving free of charge.
