Континуальная аппроксимация энергии деформации нанокантилевера
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu10.2025.101Аннотация
В отличие от макромеханики упругие характеристики нанообъектов перестают быть константами в обычном понимании, т. е. как усредненные по объему коэффициенты определяющих соотношений, и зависят от размеров нанообъекта, вследствие чего их называют эффективными. Немаловажный аспект континуальной наномеханики состоит в том, что эффективные упругие модули проблематично измерить классическим способом, например, на наностенде. Вместо этого прибегают к различным видам атомистического моделирования, в частности, к симуляции растяжения и изгиба нанокантилевера при заданных абсолютных смещениях его свободного конца. Как результат средствами физики твердого тела определяются абсолютные смещения всех его атомов, а также изменения его энергии. Верификация полученных экспериментальных данных имеет важное значение и является необходимым этапом для их дальнейшего адекватного математического описания. В данной работе рассматривается задача континуального описания дискретных значений изменения энергии изгиба и самого прогиба наностержня на основе учета поверхностной упругости. В двух классах трансцендентных функций и одним кубическим многочленом аппроксимируются экспериментальные данные прогиба нанокантилевера. Оценивается погрешность аппроксимации и вычисляется интеграл от функциональной части потенциальной энергии деформации.
Ключевые слова:
нанокантилевер, поверхностная упругость, энергия изгиба, эффективные упругие модули
Скачивания
Библиографические ссылки
Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1975. Vol. 57. P. 291–323.
Gurtin M. E., Murdoch A. I. Surface stress in solids // International Journal of Solids Structures. 1978. Vol. 14. P. 431–440.
Steigmann D. J., Ogden R. W. Plane deformations of elastic solids with intrinsic boundary elasticity // Proceedings of the Royal Society of London. Series A (Mathematical and Physical Sciences). 1997. Vol. 453. P. 853–977.
Steigmann D. J., Ogden R. W. Elastic surface-substrate interactions // Proceedings of the Royal Society of London. Series A (Mathematical and Physical Sciences). 1999. Vol. 455. P. 437–474.
Miller R. E., Shenoy V. B. Size effect elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology. 2000. Vol. 11. P. 139–147.
Shenoy V. B. Atomistic calculations of elastic properties of metallic fcc crystal surfaces // Physical Review B. 2005. Vol. 71. Art. N 094104.
Chhapadia P., Mohammadi P., Sharma P. Curvature-dependent surface energy and implications for nanostructures // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2011. Vol. 59. P. 2103–2115.
Chhapadia P., Mohammadi P., Sharma P. Erratum to: “Curvature-dependent surface energy and implications for nanostructures’’ // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2012. Vol. 60. P. 1241–1242.
Nanocantilever Beams: Modeling, Fabrication, and Applications. Ed. I. Eds I. Voiculescu, M. Zaghloul. New York: Jenny Stanford Publ., 2016. 544 p.
Bochkarev A. Buckling of a nano-rod with taken into account of surface effect // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2024. Vol. 104. N e202300738.
Кондратьева А. Д. Выпучивание под собственным весом нанокантилевера с упругим поворотом // Процессы управления и устойчивость. 2024. Т. 11. Вып. 27. С. 112–120.
Zhang G. I., Gao X. L., Guo Z. W. A new model for spatial rods incorporating surface energy effects // Mathematics and Mechanics of Solids. 2024. Vol. 29 (8). P. 1646–1666.
Невельсон М. Б., Хасьминский Р. З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972. 304 с.
Robbins Н., Monro S. A stochastic approximation method // Annals of Mathematical Statistics. 1951. Vol. 22. N 1. P. 400–407.
Kroese D. P., Taimre T., Botev Z. I. Handbook of Monte Carlo methods. New York: John Wiley & Sons, 2011. 772 p.
Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 472 с.
References
Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1975, vol. 57, pp. 291–323.
Gurtin M. E., Murdoch A. I. Surface stress in solids. International Journal of Solids Structures, 1978, vol. 14, pp. 431–440.
Steigmann D. J., Ogden R. W. Plane deformations of elastic solids with intrinsic boundary elasticity. Proceedings of the Royal Society of London, Series A (Mathematical and Physical Sciences), 1997, vol. 453, pp. 853–977.
Steigmann D. J., Ogden R. W. Elastic surface-substrate interactions. Proceedings of the Royal Society of London, Series A (Mathematical and Physical Sciences), 1999, vol. 455, pp. 437–474.
Miller R. E., Shenoy V. B. Size effect elastic properties of nanosized structural elements. Nanotechnology, 2000, vol. 11, pp. 139–147.
Shenoy V. B. Atomistic calculations of elastic properties of metallic fcc crystal surfaces. Physical Review B, 2005, vol. 71, art. no. 094104.
Chhapadia P., Mohammadi P., Sharma P. Curvature-dependent surface energy and implications for nanostructures. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2011, vol. 59, pp. 2103–2115.
Chhapadia P., Mohammadi P., Sharma P. Erratum to: “Curvature-dependent surface energy and implications for nanostructures’’. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2012, vol. 60, pp. 1241–1242.
it Nanocantilever Beams: Modeling, Fabrication, and Applications. Ed. 1. Eds I. Voiculescu, M. Zaghloul. New York, Jenny Stanford Publ., 2016. 544 p.
Bochkarev A. Buckling of a nano-rod with taken into account of surface effect. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 2024, vol. 104, art. no. e202300738.
Kondratyeva A. D. Vypuchivanie pod sobstvennym vesom nanokantilevera s uprugim povorotom [Self-weight buckling of a nanocantilever on an elastic substrate]. Protsessy upravleniia i ustoichivost' [Control Processes and Stability], 2024, vol. 11 (27), pp. 112–120. (In Russian)
Zhang G. I., Gao X. L., Guo Z. W. A new model for spatial rods incorporating surface energy effects. Mathematics and Mechanics of Solids, 2024, vol. 29 (8), pp. 1646–1666.
Nevelson M. B., Khas'minskii R. Z. Stokhasticheskaia approksimatsiia i rekurrentnoe otsenivanie [ Stochastic approximation and recurrent estimation]. Moscow, Nauka Publ., 1972, 304 p. (In Russian)
Robbins Н., Monro S. A stochastic approximation method. Annals of Mathematical Statistics, 1951, vol. 22 (1), pp. 400–407.
Kroese D. P., Taimre T., Botev Z. I. Handbook of Monte Carlo methods. New York, John Wiley & Sons Publ., 2011, 772 p.
Ermakov S. M. Metod Monte-Karlo i smezhnye voprosy [ Monte Carlo method and related topics]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 472 p. (In Russian)
Загрузки
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
