Управление и возмущение в задаче Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью

Олег Владимирович Басков; Дмитрий Константинович Потапов

doi:10.21638/11701/spbu10.2023.212

Авторы

Олег Владимирович Басков Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
Дмитрий Константинович Потапов Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.212

Аннотация

Рассматривается задача Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью, управлением и возмущением. Полученные ранее результаты для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором применяются к исследуемой задаче. Вариационным методом устанавливаются теоремы о существовании решений задачи Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью и задачи оптимального управления, топологических свойствах множества допустимых пар «управление—состояние». В качестве приложения приводится одномерный аналог модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости с управлением и возмущением.

Ключевые слова:

задача Штурма—Лиувилля, разрывная нелинейность, задачи управления, вариационный метод, модель Гольдштика

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

Литература

Потапов Д. К. Управление спектральными задачами для уравнений с разрывными операторами // Труды Ин-та математики и механики Уральского отделения РАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 190-200.

Потапов Д. К. О разрешимости задачи управления для одного класса уравнений с разрывными операторами и спектральным параметром // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2011. № 2. С. 36-39.

Потапов Д. К. Задачи управления системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром, внешним возмущением и разрывной нелинейностью // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 1. С. 55-57.

Потапов Д. К. Задачи управления для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором при наличии возмущений // Журн. Сиб. федерального университета. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5. Вып. 2. С. 239-245.

Потапов Д. К. О существовании решения задачи управления с возмущением для одного класса уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2012. № 1. С. 12-15.

Потапов Д. К. О связи управления и состояния в спектральных задачах для уравнений с разрывными операторами // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 5-1. С. 104-105.

Потапов Д. К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 2013. № 2. С. 19-24.

Будак Б. М., Беркович Е. М. О задачах оптимального управления для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Журн. вычислит. математики и матем. физики. 1971. Т. 11. № 1. С. 51-64.

Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm - Liouville boundary value problems // J. Inequal. Appl. 2005. N 4. P. 403-412.

Bonanno G., Bisci G. M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities // Bound. Value Probl. 2009. Art. ID 670675. 20 p.

Bonanno G., Buccellato S. M. Two point boundary value problems for the Sturm - Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities // Taiwanese J. Math. 2010. Vol. 14. N 5. P. 2059-2072.

Потапов Д. К. Задача Штурма - Лиувилля с разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50. № 9. С. 1284-1286.

Потапов Д. К. Существование решений, оценки дифференциального оператора и "разделяющее" множество в краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка с разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 970-974.

Bonanno G., D'Agui G., Winkert P. Sturm - Liouville equations involving discontinuous nonlinearities // Minimax Theory Appl. 2016. Vol. 1. N 1. P. 125-143.

Павленко В. Н., Постникова Е. Ю. Задача Штурма - Лиувилля для уравнения с разрывной нелинейностью // Челябинск. физ.-матем. журн. 2019. Т. 4. Вып. 2. С. 142-154.

Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / пер. с франц. А. И. Штерна. М.: Наука, 1987. 368 с.

Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings // Journal of Differential Equations. 1983. Vol. 49. N 1. P. 1-28.

Павленко В. Н., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 911-919.

Потапов Д. К. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Известия РАЕН. Сер. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. 2004. Т. 8. № 3-4. С. 163-170.

Потапов Д. К. Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. Т. 14. № 3. С. 291-296.

References

Potapov D. K. Upravlenie spektral'nymi zadachami dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [Control of spectral problems for equations with discontinuous operators]. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki Ural'skogo otdeleniia RAN [ Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Supplementary issues) ], 2011, vol. 17, no. 1, pp. 190-200. (In Russian)

Potapov D. K. O razreshimosti zadachi upravleniia dlia odnogo klassa uravnenii s razryvnymi operatorami i spektral'nym parametrom [On resolvability of a control problem for one class of equations with discontinuous operators and a spectral parameter]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia Sistemnyi analiz i informatsionnye tekhnologii [ Proceedings of Voronezh State University. Series Systems Analysis and Information Technologies ], 2011, no. 2, pp. 36-39. (In Russian)

Potapov D. K. Zadachi upravleniia sistemami ellipticheskogo tipa vysokogo poriadka so spektral'nym parametrom, vneshnim vozmushcheniem i razryvnoi nelineinost'iu [Control problems for higher-order systems of elliptic type with a spectral parameter, an external perturbation, and a discontinuous nonlinearity]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [ Bulletin of Voronezh State Technical University ], 2012, vol. 8, no. 1, pp. 55-57. (In Russian)

Potapov D. K. Zadachi upravleniia dlia uravnenii so spektral'nym parametrom i razryvnym operatorom pri nalichii vozmushchenii [Control problems for equations with a spectral parameter and a discontinuous operator under perturbations]. Zhurnal Sibirskogo federal'nogo universiteta. Seriia Matematika i fizika [ Journal of Siberian Federal University. Series Mathematics and Physics ], 2012, vol. 5, iss. 2, pp. 239-245. (In Russian)

Potapov D. K. O sushchestvovanii resheniia zadachi upravleniia s vozmushcheniem dlia odnogo klassa uravnenii so spektral'nym parametrom i razryvnym operatorom [Existence of solution to control problems with perturbations for a class of equations with spectral parameter and discontinuous operator]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia Sistemnyi analiz i informatsionnye tekhnologii [ Proceedings of Voronezh State University. Series Systems Analysis and Information Technologies ], 2012, no. 1, pp. 12-15. (In Russian)

Potapov D. K. O sviazi upravleniia i sostoianiia v spektral'nykh zadachakh dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [On dependence between control and state in spectral problems for equations with discontinuous operators]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [ Bulletin of Voronezh State Technical University ], 2013, vol. 9, no. 5-1, pp. 104-105. (In Russian)

Potapov D. K. Optimal'noe upravlenie raspredelennymi sistemami ellipticheskogo tipa vysokogo poriadka so spektral'nym parametrom i razryvnoi nelineinost'iu [Optimal control of higher order elliptic distributed systems with a spectral parameter and discontinuous nonlinearity]. Izvestiia RAN. Teoriia i sistemy upravleniia [ Journal of Computer and Systems Sciences International ], 2013, no. 2, pp. 19-24. (In Russian)

Budak B. M., Berkovich E. M. O zadachakh optimal'nogo upravleniia dlia differentsial'nykh uravnenii s razryvnymi pravymi chastiami [Optimal control problems for differential equations with discontinuous right sides]. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki [ USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics ], 1971, vol. 11, no. 1, pp. 51-64. (In Russian)

Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm - Liouville boundary value problems. J. Inequal. Appl., 2005, no. 4, pp. 403-412.

Bonanno G., Bisci G. M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities. Bound. Value Probl., 2009, Art. ID 670675, 20 p.

Bonanno G., Buccellato S. M. Two point boundary value problems for the Sturm - Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities. Taiwanese J. Math., 2010, vol. 14, no. 5, pp. 2059-2072.

Potapov D. K. Zadacha Shturma - Liuvillia s razryvnoi nelineinost'iu [Sturm - Liouville's problem with discontinuous nonlinearity]. Differentsial'nie uravneniia [ Differential Equations ], 2014, vol. 50, no. 9, pp. 1284-1286. (In Russian)

Potapov D. K. Sushchestvovanie reshenii, otsenki differentsial'nogo operatora i "razdeliaiushchee’’ mnozhestvo v kraevoi zadache dlia differentsial'nogo uravneniia vtorogo poriadka s razryvnoi nelineinost'iu [Existence of solutions, estimates for the differential operator, and a "separating" set in a boundary value problem for a second-order differential equation with a discontinuous nonlinearity]. Differentsial'nie uravneniia [ Differential Equations ], 2015, vol. 51, no. 7, pp. 970-974. (In Russian)

Bonanno G., D'Agui G., Winkert P. Sturm - Liouville equations involving discontinuous nonlinearities. Minimax Theory Appl., 2016, vol. 1, no. 1, pp. 125-143.

Pavlenko V. N., Postnikova E. Yu. Zadacha Shturma - Liuvillia dlia uravneniia s razryvnoi nelineinost'iu [Sturm - Liouville problem for an equation with a discontinuous nonlinearity]. Cheliabinskii fiziko-matematicheskii zhurnal [ Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal ], 2019, vol. 4, iss. 2, pp. 142-154. (In Russian)

Lions Zh.-L. Upravlenie singuliarnymi raspredelennymi sistemami [ Control of distributed singular system ]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 368 p. (In Russian)

Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings. Journal of Differential Equations, 1983, vol. 49, no. 1, pp. 1-28.

Pavlenko V. N., Potapov D. K. O sushchestvovanii lucha sobstvennykh znachenii dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [Existence of a ray of eigenvalue for equations with discontinuous operators]. Sibirskii matematicheskii zhurnal [ Siberian Mathematical Journal ], 2001, vol. 42, no. 4, pp. 911-919. (In Russian)

Potapov D. K. Matematicheskaia model' otryvnykh techenii neszhimaemoi zhidkosti [Mathematical model for separated flows of incompressible fluid]. Izvestiia RAEN. Seriia Matematika. Matematicheskoe modelirovanie. Informatika i upravlenie [ Proceedings of RANS. Series Mathematics. Mathematical Modeling. Informatics and Control ], 2004, vol. 8, no. 3-4, pp. 163-170. (In Russian)

Potapov D. K. Nepreryvnaia approksimatsiia odnomernogo analoga modeli Gol'dshtika otryvnykh techenii neszhimaemoi zhidkosti [Continuous approximations for a 1D analog of the Gol'dshtik model for separated flows of an incompressible fluid]. Sibirskii zhurnal vychislitel’noi matematiki [ Numerical Analysis and Applications ], 2011, vol. 14, no. 3, pp. 291-296. (In Russian)