Вычисление интегралов в теории функционала электронной плотности в приближении электронного газа с использованием технологии CUDA
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu10.2024.303Аннотация
Выражение для потенциальной энергии взаимодействия двух нейтральных атомов в отсутствие химической связи состоит из суммы кратных и несобственных интегралов. Ввиду громоздкости функций нахождение этих интегралов в явном виде не представляется возможным. Широко используемые на практике программные комплексы на базе стандартных методов вычислительной математики также не способны за короткое время обеспечить удовлетворительную точность при их численном расчете. В квантовой химии и вычислительной физике сказанное сильно ограничивает подходы к моделированию свойств и структур атомных/молекулярных систем. Приходится полагаться на не столь результативные в плане точности методы интегрирования Монте-Карло или формулы типа Гаусса — Лагерра. В настоящей статье применительно к данной проблеме предлагается методика переноса квадратурных формул Ньютона — Котеса на архитектуру графических процессоров. Подробно обсуждаются особенности такого переноса, призванные устранить тонкие места и максимально повысить производительность соответствующих компьютерных программ. В качестве платформы для массивнопараллельных вычислений выступает технология CUDA от компании NVIDIA. Тестирование показало, что в типичных задачах эффективность программ для графических процессоров, основанных на распараллеленных аналогах, в среднем на порядок выше классических. В рамках предложенного подхода удалось с высокой точностью и за приемлемое машинное время рассчитать межатомные потенциалы взаимодействия в широком диапазоне изменения расстояний между атомами, а также определить равновесные параметры взаимодействия. Полученные результаты хорошо согласуются с известными из литературы данными.
Ключевые слова:
параллельное программирование, численное интегрирование, технология CUDA, GPGPU, метод функционала электронной плотности
Скачивания
Библиографические ссылки
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.
Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
Жидков Е. П., Лобанов Ю. Ю., Рушай В. Д. Применение метода Ромберга для повышения точности вычисления кратных интегралов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 2. С. 232–240.
Рыбаков К. А. Точное вычисление погрешности аппроксимации кратных стохастических интегралов Ито // Сибирский журнал вычислительной математики. 2023. Т. 26. № 2. С. 205–213. https://doi.org/10.15372/SJNM20230207
Выжол Ю. А., Жорова А. Н., Муленко И. А., Хомкин А. Л. Применение методов компьютерной алгебры к расчету скобочных интегралов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. № 10. С. 1867–1882.
Galan-Garcia J. L., Rodriguez-Cielos P., Padilla-Dominguez Y., Galan-Garcia M. A., Atencia I., Rodriguez-Padilla P., Aguilera-Venegas G. SMIS: A stepwise multiple integration solver using a CAS // Mathematics. 2021. Vol. 9. N 22. P. 1–32. https://doi.org/10.3390/math9222866
Chernukha O., Bilushchak Y., Shakhovska N., Kulhanek R. A numerical method for computing double integrals with variable upper limits // Mathematics. 2022. Vol. 10. N 1. P. 1–26. https://doi.org/10.3390/math10010108
Горкуша О. А., Заводинский В. Г. О вычислении потенциала в многоатомных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59. № 2. С. 325–333. https://doi.org/10.1134/S0044466919020066
Крутицкий П. А., Резниченко И. О. Улучшенная квадратурная формула для потенциала простого слоя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2023. Т. 63. № 2. С. 230–244. https://doi.org/10.31857/S0044466923020114
Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.
Раба Н. О. Разработка и реализация алгоритма расчета коагуляции в модели облаков со смешанной фазой с использованием технологии CUDA // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. Вып. 4. C. 94–104.
Fazanaro F. I., Soriano D. C., Suyama R., Madrid M. K., Oliveira J. R., Munoz I. B., Attux R. Numerical characterization of nonlinear dynamical systems using parallel computing: The role of GPUs approach // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. Vol. 37. P. 143–162. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2015.12.021
Ружников В. О. Повышение производительности расчета динамики частиц на параллельных системах // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 1. C. 147–156.
Gordon R. G., Kim Y. S. Theory for the forces between closed-shell atoms and molecules // Journal of Chemical Physics. 1972. Vol. 56. N 6. P. 3122–3133. https://doi.org/10.1063/1.1677649
Waldman M., Gordon R. G. Scaled electron gas approximation for intermolecular forces // Journal of Chemical Physics. 1979. Vol. 71. N 3. P. 1325–1339. https://doi.org/10.1063/1.438433
Vol. 40. N 6. P. 1686–1691. https://doi.org/10.1063/1.1725380
Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.
Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в~мир нанорасчета. Ижевск: Регулярная и~хаотическая динамика, 2005. 160 с.
Боресков А.~В., Харламов А.~А. Основы работы с технологией CUDA. М.: ДМК Пресс, 2010. 232 с.
Сандерс Дж., Кэндрот Э. Технология CUDA в примерах. Введение в программирование графических процессоров. М.: ДМК Пресс, 2011. 232 с.
Gould T., Bucko T. C6 coefficients and dipole polarizabilities for all atoms and many ions in rows 1–6 of the periodic table // Journal of Chemical Theory and Computation. 2016. Vol. 12. N 8. P. 3603–3613. https://doi.org/10.1021/acs.jctc.6b00361
References
Bahvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobel'kov G. M. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 600 p. (In Russian)
Kalitkin N. N. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 512 p. (In Russian)
Zhidkov E. P., Lobanov Iu. Iu., Rushai V. D. Primenenie metoda Romberga dlia povysheniia tochnosti vychisleniia kratnykh integralov [Improving the accuracy of multiple integral evaluation by applying Romberg's method]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009, vol. 49, no. 2, pp. 232–240. (In Russian)
Rybakov K. A. Tochnoe vychislenie pogreshnosti approksimatsii kratnykh stokhasticheskikh integralov Ito [Exact calculation of the approximation error of multiple Ito stochastic integrals]. Numerical Analysis and Applications, 2023, vol. 26, no. 2, pp. 205–213. https://doi.org/10.15372/SJNM20230207 (In Russian)
Vyzhol Iu. A., Zhorova A. N., Mulenko I. A., Khomkin A. L. Primenenie metodov komp'iuternoi algebry k raschetu skobochnykh integralov [Application of computer algebra for the calculation of bracket integrals]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, vol. 51, no. 10, pp. 1867–1882. (In Russian)
Galan-Garcia J. L., Rodriguez-Cielos P., Padilla-Dominguez Y., Galan-Garcia M. A., Atencia I., Rodriguez-Padilla P., Aguilera-Venegas G. SMIS: a stepwise multiple integration solver using a CAS. Mathematics, 2021, vol. 9, no. 22, pp. 1–32. https://doi.org/10.3390/math9222866
Chernukha O., Bilushchak Y., Shakhovska N., Kulhanek R. A numerical method for computing double integrals with variable upper limits. Mathematics, 2022, vol. 10, no. 1, pp. 1–26. https://doi.org/10.3390/math10010108
Gorkusha O. A., Zavodinskii V. G. O vychislenii potentsiala v mnogoatomnykh sistemakh [On the calculation of the interaction potential in multiatomic systems]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2019, vol. 59, no. 2, pp. 325–333. https://doi.org/10.1134/S0044466919020066 (In Russian)
Krutitskii P. A., Reznichenko I. O. Uluchshennaia kvadraturnaia formula dlia potentsiala prostogo sloia [Improved quadrature formula for a single-layer potential]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2023, vol. 63, no. 2, pp. 230–244. https://doi.org/10.31857/S0044466923020114 (In Russian)
Sobol' I. M. Mnogomernye kvadraturnye formuly i funktsii Khaara [Multidimensional quadrature formulas and Haar functions]. Moscow, Nauka Publ., 1969, 288 p. (In Russian)
Raba N. O. Razrabotka i realizatsiia algoritma rascheta koaguliatsii v modeli oblakov so smeshannoi fazoi s ispol'zovaniem tekhnologii CUDA [Development and realization of algorithm of coagulation calculation in mixed-phase cloud model using CUDA technology]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2011, iss. 4, pp. 94–104. (In Russian)
Fazanaro F. I., Soriano D. C., Suyama R., Madrid M. K., Oliveira J. R., Munoz I. B., Attux R. Numerical characterization of nonlinear dynamical systems using parallel computing: The role of GPUs approach. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2016, vol. 37, pp. 143–162. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2015.12.021
Ruzhnikov V. O. Povyshenie proizvoditel'nosti rascheta dinamiki chastits na parallel'nykh sistemakh [Calculation performance improvement of particle dynamics on parallel systems]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2014, iss. 1, pp. 147–156. (In Russian)
Gordon R. G., Kim Y. S. Theory for the forces between closed-shell atoms and molecules. Journal of Chemical Physics, 1972, vol. 56, no. 6, pp. 3122–3133. https://doi.org/10.1063/1.1677649
Waldman M., Gordon R. G. Scaled electron gas approximation for intermolecular forces. Journal of Chemical Physics, 1979, vol. 71, no. 3, pp. 1325–1339. https://doi.org/10.1063/1.438433
Strand G., Bonham R. A. Analytical expressions for the Hartree — Fock potential of neutral atoms and for the corresponding scattering factors for X rays and electrons. Journal of Chemical Physics, 1964, vol. 40, no. 6, pp. 1686–1691. https://doi.org/10.1063/1.1725380
Krylov V. I. Priblizhennoe vychislenie integralov [Approximate calculation of integrals]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 500 p. (In Russian)
Rit M. Nanokonstruirovanie v nauke i tekhnike. Vvedenie v mir nanorascheta [Nano-engineering in science and technology: an introduction to the world of nano-design]. Izhevsk, Reguliarnaia i khaoticheskaia dinamika Publ., 2005, 160 p. (In Russian)
Boreskov A. V., Kharlamov A. A. Osnovy raboty s tekhnologiei CUDA [Basics of working with CUDA technology]. Moscow, DMK Press, 2010, 232 p. (In Russian)
Sanders Dzh., Kendrot E. Tekhnologiia CUDA v primerakh. Vvedenie v programmirovanie graficheskikh protsessorov [CUDA technology in examples. Introduction to GPU programming]. Moscow, DMK Press, 2011, 232 p. (In Russian)
Gould T., Bucko T. C6 coefficients and dipole polarizabilities for all atoms and many ions in rows 1–6 of the periodic table. Journal of Chemical Theory and Computation, 2016, vol. 12, no. 8, pp. 3603–3613. https://doi.org/10.1021/acs.jctc.6b00361
Загрузки
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
