Unique weak solvability of a nonlinear initial boundary value problem with distributed parameters in a netlike domain

Авторы

  • Vyacheslav Provotorov Воронежский государственный университет, Российская Федерация, 394006, Воронеж, Университетская площадь, 1 https://orcid.org/0000-0001-8761-7174
  • Viktor Ryazhskikh Воронежский государственный технический университет, Российская Федерация, 394026, Воронеж, Московский пр., 14
  • Yuliya Gnilitskaya Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина, Российская Федерация, 396064, Воронеж, ул. Старых большевиков, 54a

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2017.304

Аннотация

В работе рассматривается достаточно широкий круг вопросов, относящихся к разрешимости начально-краевой задачи типа Навье—Стокса с распределенными параметрами на сетеподобной области Rn (n ≥ 2). Развиваются идеи, представленные в работах авторов для случая n = 1 (задачи с распределенными параметрами на графе), в направлении увеличения размерности n и формируются условия корректности по Адамару изучаемой начально-краевой задачи. Общая схема исследования остается классической: выбирается функциональное пространство, в котором решается задача (пространство допустимых решений) и формируется специальный базис для него, строятся приближения решений задачи по методу Фаэдо—Галеркина, для них устанавливаются априорные оценки типа энергетических неравенств и на основе этих оценок показывается слабая компактность построенного семейства решений. С помощью необременительных дополнительных условий находится гладкость решения по временной переменной. Единственность слабого решения рассматривается для частного случая n = 2, достаточно часто встречающегося на практике. Оценка для нормы слабого решения дает возможность установить непрерывную зависимость слабого решения от исходных данных задачи. Результаты, полученные таким путем, представляют интерес для приложений в области гидромеханики и смежных разделах механики сплошных сред, а именно, для анализа задач оптимального управления динамикой многофазных сред. Следует отметить, что используемые методы и подходы обладают достаточно большой общностью и применимы к широким классам нелинейных задач. Библиогр. 20 назв.

Ключевые слова:

начально-краевая задача, распределенные параметры на сетеподобной области, существование слабого решения, условия единственности, корректность по Адамару, слабые решения, оптимальное граничное управление, синтез управления, управляемость

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.
 

Библиографические ссылки

Gnilitskaya Yu. A. Matematicheskoe modelirovanie i chislennoe issledovanie processov v setepodobnyh ob’ektah, opisyvaemyh evoljucionnymi uravneniajmi [Mathematical modeling and numerical study of processes in netlike objects described by evolutionary equations]. Cand. Diss. of physical and mathematical sciences. Voronezh, Voronezh State Technical University, 2015, 224 p. (In Russian)

Volkova A. S., Provotorov V. V. Obobshhennye reshenija i obobshhennye sobstvennye funkcii kraevyh zadach na geometricheskom grafe [Generalized solutions and generalized eigenfunctions of boundary-value problems on a geometric graph]. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Matematika [Russian Mathematics. Proceeding of Higher Educatianal institutions], 2014, vol. 58, no. 3, pp. 1–13. (In Russian)

Volkova A. S., Gnilitskaya Yu. A., Provotorov V. V. On the solvability of boundary-value problems for parabolic and hyperbolic equations on geometrical graphs. Automation and Remote Control, 2014, vol. 75, no. 2, pp. 405–412.

Provotorov V. V., Gnilitskaya Yu. A. Granichnoe upravlenie volnovoj sistemoj v prostranstve obobshhennyh reshenij na grafe [Boundary control of a wave system in the space of generalized solutions on a graph]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2013, iss. 3, pp. 112–120. (In Russian)

Lions J.-L. Some methods of solving non-linear boundary value problems. Paris, Dunod-Gauthier-Villars, 1969. 581 p. (Russ. ed.: Lions J.-L. Nekotorye metody resheniya nelineinykh kraevykh zadach. Moscow, Mir Publ., 1972, 587 p.).

Lions J.-L., Magenes E. Problemes aux limites non homogenes et applications [Nonhomogenes boundary value problems and supplement]. Paris, Dunod-Gauthier-Villars, 1968. 364 p. (Russ. ed.: Lions J.-L., Magenes E. Neodnorodnye granichnye zadachi i ikh prilozheniya. Moscow, Mir Publ., 1971, 371 p.).

Ladyzhenskaya O. A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 407 p. (In Russian)

Podvalny S. L., Provotorov V. V. Startovoe upravlenie parabolicheskoj sistemoj s raspredelennymi parametrami na grafe [Starting control of a parabolic system with distributed parameters on a graph]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2015, iss. 3, pp. 126–142. (In Russian)

Kutateladze S. S., Styrikovich M. A. Gidrodinamkia gazozhidkostnykh sistem [Hydrodynamics of gas-liquid systems]. Moscow, Energiya Publ., 1976, 296 p. (In Russian)

Provotorov V. V. Boundary control of a parabolic system with distributed parameters on a graph in the class of summable functions. Automation and Remote Control, 2015, vol. 76, no. 2, pp. 318–322.

Podvalny S. L., Provotorov V. V. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph. Intern. Conference “Stability and Control Processes” in memory of V. I. Zubov (SCP), 2015, pp. 117–119.

Provotorov V. V. Optimal’noe upravlenie parabolicheskoj sistemoj s raspredelennymi parametrami na grafe [Optimal control of a parabolic system with distributed parameters on a graph]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2014, iss. 3, pp. 154–163. (In Russian)

Potapov D. K. Optimal’noe upravlenie raspredelennymi sistemami jellipticheskogo tipa vysokogo porjadka so spektral’nym parametrom i razryvnoj nelinejnost’ju [Optimal control of higher order elliptic distributed systems with a spectral parameter and discontinuous nonlinearity]. Journal of Computer and System Sciences International, 2009, vol. 52, no. 2, pp. 180–185. (In Russian)

Aleksandrov A. Yu., Zhabko A. P. Ob ustojchivosti reshenij odnogo klassa nelinejnyh raznostnyh sistem [On stability of solutions to one class of nonlinear difference systems]. Sibirskij matematicheskij zhurnal [Siberian Mathematical Journal], 2003, vol. 44, no. 6, pp. 951–958. (In Russian)

Aleksandrov A., Aleksandrova E., Zhabko A. Asymptotic stability conditions for certain classes of mechanical systems with time delay. WSEAS Transactions on Systems and Control, 2014, vol. 9, pp. 388–397.

Aleksandrov A. Yu., Platonov A. V. Ob ustojchivosti i dissipativnosti nekotoryh klassov slozhnyh sistem [On stability and dissipativity of some classes of complex systems]. Avtomatika i telemehanika [Automation and Remote Control], 2009, vol. 70, no. 8, pp. 1265–1280. (In Russian)

Veremey E. I., Korchanov V. M. Mnogocelevaja stabilizacija dinamicheskih sistem odnogo klassa [Multiobjective stabilization of the dynamic systems from a certain class]. Avtomatika i telemehanika [Automation and Remote Control], 1988, no. 9, pp. 126–137. (In Russian)

Veremey E. I., Sotnikova M. V. Stabilizacija plazmy na baze prognoza s ustojchivym linejnym priblizheniem [Plasma stabilization by prediction with stable linear approximation]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2011, iss. 1, pp. 116–133. (In Russian)

Karelin V. V. Shtrafnye funkcii v zadache upravlenija processom nabljudenija [Penalty functions in the control problem of an observation process]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2010, iss. 4, pp. 109–114. (In Russian)

Kamachkin A. M., Yevstafyeva V. V. Oscillations in a relay control system at an external disturbance. Control Applications of Optimization 2000: Proceedings of the 11th IFAC Workshop, 2000, vol. 2, pp. 459–462.

Загрузки

Опубликован

12.09.2017

Как цитировать

Provotorov, V., Ryazhskikh, V., & Gnilitskaya, Y. (2017). Unique weak solvability of a nonlinear initial boundary value problem with distributed parameters in a netlike domain. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, 13(3), 264–277. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2017.304

Выпуск

Раздел

Прикладная математика