Об устойчивости нулевого решения относительно части переменных по линейному приближению

Pavel A. Shamanaev

doi:10.21638/11701/spbu10.2023.306

Authors

Pavel A. Shamanaev National Research Mordovia State University, 68, Bolshevistskaya ul., Saransk, Republic of Mordovia, 430005, Russian Federation

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.306

Abstract

The article presents the sufficient conditions for stability and asymptotic stability with respect to a part of the variables of the zero solution of a nonlinear system in the linear approximation. the case is considered when the matrix of the linear approximation may contain eigenvalues with zero real parts and the algebraic and geometric multiplicities of these eigenvalues may not coincide. The approach is based on establishing some correspondence between the solutions of the investigated system and its linear approximation. The solutions of such systems starting in a sufficiently small zero neighborhood and the systems themselves possess the same componentwise asymptotic properties in this case. Such solutions’ properties are stability and asymptotic stability with respect to some variables, and for systems componentwise local asymptotic equivalence and componentwise local asymptotic equilibrium. Considering the correspondence between the solutions of systems as an operator defined in a Banach space, there is proved that it has at least one fixed point according to the Schauder’s principle. The operator allows to construct a mapping that establishes the relationship between the initial points of the investigated system and its linear approximation. Further, a conclusion about the componentwise asymptotic properties of solutions of the nonlinear system is made on the basis of estimates of the fundamental matrix of the linear approximation rows’ entries. There is given an example of the investigation of stability and asymptotic stability with respect to a part of the variables of the zero solution of a nonlinear system is given, when the linear approximation matrix contains one negative and one zero eigenvalues, and the algebraic and geometric multiplicities of the zero eigenvalue do not coincide.

Keywords:

ordinary differential equations, partial stability, local componentwise asymptotic equivalence, Schauder principle

Downloads

Download data is not yet available.

References

Литература

Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1963. 116 с.

Малкин И. Г. Об устойчивости движения в смысле Ляпунова // Математический сборник. 1938. Т. 3 (45). № 1. С. 47–101.

Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник Московского университета. Cер. Математика. Механика. Астрономия. Физика. Химия. 1957. № 4. С. 9–16.

Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 253 с.

Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 288 с.

Озиранер А. С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных // Прикладная математика и механика. 1973. Т. 37. Вып. 4. С. 659–665.

Прокопьев В. П. Об устойчивости движения относительно части переменных в критическом случае одного нулевого корня // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39. Вып. 3. С. 422–426.

Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

Озиранер А. С. Об устойчивости движения в критическом случаe // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39. Вып. 3. С. 415–421.

Щенников В. Н. О частичной устойчивости в критическом случае 2k чисто мнимых корней // Дифференциальные и интегральные уравнения: Методы топологической динамики: сб. ст. Горький: Горьк. гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского, 1985. С. 46–50.

Щенников В. Н. Исследование устойчивости по части переменных дифференциальных систем с однородными правыми частями // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 9. С. 1645–1649.

Воскресенский Е. В. Асимптотические методы: теория и приложения. Саранск: Изд-во Средневолжск. матем. об-ва, 2000. 300 с.

Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Саранск. ун-та, 1990. 224 с.

Язовцева О. С. Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность и ее применение к исследованию устойчивости по части переменных // Огарев-online. 2017. № 13.

Шаманаев П. А., Язовцева О. С. Достаточные условия локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее приложение к устойчивости по части переменных // Журн. Средневолжск. матем. об-ва. 2017. Т. 19. № 1. С. 102–115.

Шаманаев П. А., Язовцева О. С. Достаточные условия полиустойчивости по части переменных нулевого решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. Средневолжск. матем. об-ва. 2018. Т. 20. № 3. С. 304–317.

Шаманаев П. А., Язовцева О. С. Исследование устойчивости положения равновесия системы динамики биоценоза в условиях межвидового взаимодействия // Вестник Мордовского университета. 2018. Т. 28. № 3. С. 321–332.

Шаманаев П. А., Язовцева О. С. О частичной устойчивости положений равновесия динамических систем. Саранск: Средневолжск. матем. об-во, 2018. № 127. 20 с.

Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 184 с.

Александров А. Ю., Жабко А. П. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных систем с запаздыванием // Сибирск. матем. журн. 2012. Т. 53. № 3. С. 495–508.

Екимов А. В., Чижова О. Н., Зараник У. П. Устойчивость однородных нестационарных систем дифференциально-разностных уравнений с линейно возрастающим запаздыванием // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019. Т. 15. Вып. 4. С. 415–424. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.401

Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.

Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 249 с.

References

Lyapunov A. M. Issledovanie odnogo iz osobennykh sluchaev zadachi ob ustoichivosti dvizheniia [Study of one of the special cases of the problem of stability of motion]. Leningrad, Leningrad State University Press, 1963, 116 p. (In Russian)

Malkin I. G. Ob ustoichivosti dvizheniia v smysle Liapunova [On motions stability of Liapounov’ sense]. Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S., 1938, vol. 3 (45), no. 1, pp. 47–101. (In Russian)

Rumyantsev V. V. Ob ustoichivosti dvizheniia po otnosheniiu k chasti peremennykh [On motion stability with respect to a part of variables]. Vestnik of Moscow University. Series Mathematics. Mechanics. Astronomy. Physics. Chemistry. 1957, no. 4, pp. 9–16. (In Russian)

Rumyantsev V. V., Oziraner A. S. Ustoichivost' i stabilizatsiia dvizheniia po otnosheniiu k chasti peremennykh [Stability and stabilization of motion with respect to a part of variables]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 253 p. (In Russian)

Vorotnikov V. I. Ustoichivost' dinamicheskikh sistem po otnosheniiu k chasti peremennykh [Stability of dynamical systems with respect to a part of variables]. Moscow, Nauka Publ., 1991, 288 p. (In Russian)

Oziraner A. S. Ob asimptoticheskoi ustoichivosti i neustoichivosti otnositel'no chasti peremennykh [On asymptotic stability and instability with respect to a part of the variables]. Applied Mathematics and Mechanics, 1973, vol. 37, iss. 4, pp. 659–665. (In Russian)

Prokopiev V. P. Ob ustoichivosti dvizheniia otnositel'no chasti peremennykh v kriticheskom sluchae odnogo nulevogo kornia [On the stability of motion with respect to a part of variables in the critical case of one zero root]. Applied Mathematics and Mechanics, 1975, vol. 39, iss. 3, pp. 422–426. (In Russian)

Malkin I. G. Teoriia ustoichivosti dvizheniia [Theory of stability of motion]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 530 p. (In Russian)

Oziraner A. S. Ob ustoichivosti dvizheniia v kriticheskom sluchae [On stability of motion in critical cases]. Applied Mathematics and Mechanics, 1975, vol. 39, iss. 3, pp. 415–421. (In Russian)

Shchennikov V. N. O chastichnoi ustoichivosti v kriticheskom sluchae 2k chisto mnimykh kornei [On partial stability in the critical case of 2$k$ purely imaginary roots]. Differential and integral equations: Methods of topological dynamics. Gorkiy, Gorkiy State University named after N. I. Lobachevsky, 1985, pp. 46–50. (In Russian)

Shchennikov V. N. Issledovanie ustoichivosti po chasti peremennykh differentsial'nykh sistem s odnorodnymi pravymi chastiami [Investigation of the stability with respect to a part of the variables of differential systems with homogeneous right-hand sides]. Differential Equations, 1984, vol. 20, no. 9, pp. 1645–1649. (In Russian)

Voskresenskiy E. V. Asimptoticheskie metody: teoriia i prilozheniia [Asymptotic methods: theory and applications]. Saransk, Middle Volga Mathematical Society Publ., 2000, 300 p. (In Russian)

Voskresenskiy E. V. Metody sravneniia v nelineinom analize [Comparison methods in nonlinear analysys]. Saransk, Saransky University Press, 1990, 224 p. (In Russian)

Yazovtseva O. S. Lokal'naia pokomponentnaia asimptoticheskaia ekvivalentnost' i ee primenenie k issledovaniiu ustoichivosti po chasti peremennykh [The local component-wise asymptotic equivalence and its application to investigate for stability with respect to a part of variables]. Ogarev-online, 2017, no. 13. (In Russian)

Shamanaev P. A., Yazovtseva O. S. Dostatochnye usloviia lokal'noi pokomponentnoi asimptoticheskoi ekvivalentnosti nelineinykh sistem obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii i ee prilozhenie k ustoichivosti po chasti peremennykh [The sufficient conditions of local asymptotic equivalence of nonlinear systems of ordinary differential equations and its application for investigation of stability respect to part of variables]. Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva [Middle Volga Mathematical Society Journal], 2017, vol. 19, no. 1, pp. 102–115. (In Russian)

Shamanaev P. A., Yazovtseva O. S. Dostatochnye usloviia poliustoichivosti po chasti peremennykh nulevogo resheniia nelineinykh sistem obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [The sufficient conditions for polystability of solutions of nonlinear systems of ordinary differential equations]. Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva [Middle Volga Mathematical Society Journal], 2018. vol. 20, no. 3, pp. 304–317. (In Russian)

Shamanaev P. A., Yazovtseva O. S. Issledovanie ustoichivosti polozheniia ravnovesiia sistemy dinamiki biotsenoza v usloviiakh mezhvidovogo vzaimodeistviia [Studying the equilibrium state stability of the biocenosis dynamics system under the conditions of interspecies interaction]. Mordovia University Bulletin Journal, 2018, vol. 28, no. 3, pp. 321–332. (In Russian)

Shamanaev P. A., Yazovtseva O. S. O chastichnoi ustoichivosti polozhenii ravnovesiia dinamicheskikh system [Partial stability of equilibrium positions of dynamical systems]. Saransk, Middle Volga Mathematical Society Publ., 2018, no. 127, 20 p. (In Russian)

Aleksandrov A. Yu. Ustoichivost' dvizhenii neavtonomnykh dinamicheskikh sistem [Stability of motions of non-autonomous dynamical systems]. St. Petersburg, St. Petersburg University Press, 2004, 184 p. (In Russian)

Aleksandrov A. Yu., Zhabko A. P. Ob asimptoticheskoi ustoichivosti reshenii nelineinykh sistem s zapazdyvaniem [On the asymptotic stability of solutions to nonlinear systems with delay]. Siberian Mathematical Journal, 2012, vol. 53, no. 3, pp. 495–508. (In Russian)

Ekimov A. V., Chizhova O. N., Zaranik U. P. Ustoichivost' odnorodnykh nestatsionarnykh sistem differentsial'no-raznostnykh uravnenii s lineino vozrastaiushchim zapazdyvaniem [Stability of homogeneous non-stationary systems of differential-difference equations with a linearly increasing delay]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 4, pp. 415–424. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.401 (In Russian)

Bylov B. F., Vinograd R. E., Grobman D. M., Nemytskii V. V. Teoriia pokazatelei Liapunova i ee prilozheniia k voprosam ustoichivosti [Theory of Lyapunov exponents and its applications to stability problems]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 576 p. (In Russian)

Trenogin V. A. Funktsional'nyi analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1980, 249 p. (In Russian)