Аппроксимация супремумных и инфимумных процессов как стохастический подход к выполнению требований гомеостаза
DOI:
https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2022.101Аннотация
Рассматривается вычисление ограниченных функционалов на траекториях стационарного диффузионного процесса. Поскольку аналитического решения данной задачи, как правило, не существует, то необходимо использовать численные методы. Одно из возможных направлений получения численного метода — это применение метода МонтеКарло (МК), который предполагает воспроизведение траектории случайного процесса с последующим усреднением по траекториям. Для упрощения воспроизведения траектории используется преобразование Гирсанова. Основная цель данной работы — аппроксимация супремумного и инфимумного процессов, позволяющая более точно по сравнению с классическим методом вычислить математическое ожидание функции, зависящей от значений супремумного и инфимумного процессов на конце временного интервала. Метод основывается на случайном разбиении интервала на оси времени моментами остановки — пассажами винеровского процесса, аппроксимации плотности для замены меры и использовании метода МК при вычислении математического ожидания. Одно из приложений метода — задача удержания случайного процесса в заданной области, т. е. задача гомеостаза.
Ключевые слова:
метод Монте-Карло, преобразование Гирсанова, гомеостаз, диффузия
Скачивания
Библиографические ссылки
Fishman G. Monte-Carlo: concepts, algorithms and applications. New York: Springer, 1995. 722 p.
Kudryavtsev O. Approximate Wiener — Hopf factorization and Monte-Carlo methods for Levy processes // Probability Theory and its Applications. 2019. Vol. 64(2). P. 186–208.
Girsanov I. On the transformation of a class of random processes using a completely continuous measure replacement // Probability Theory and its Applications. 1960. Vol. 5. P. 314–330.
Новиков А. Об одном тождестве для стохастических интегралов // Теория вероятностей и ее применения. 1972. № 4. С. 761–765.
Kloeden P., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. New York: Springer, 1995. 632 p.
Carr P. Randomization and American put // Rev. Financ. Stud. 1996. N 11. P. 597–626.
Kuznetsov A., Kyprianou A. E., Pardo J. C., van Schaik K. A Wiener — Hopf Monte-Carlo simulation technique for L'{e}vy processes // Ann. Appl. Prob. 2011. N 21. P. 2171–2190.
Ferreiro-Castilla A., Kyprianou A. E., Scheichl R., Suryanarayana G. Multilevel Monte-Carlo simulation for L'{e}vy processes based on the Wiener — Hopf factorization // Stoch. Process. Appl. 2014. N 124. P. 985–1010.
Beliavsky G., Danilova N., Ougolnitsky G. Calculation of probability of the exit of a stochastic process from a band by Monte-Carlo method: A Wiener — Hopf factorization // Mathematics. 2019. N 7. P. 581–597.
Beliavsky G. I., Danilova N. V. The combined Monte-Carlo method to calculate the capital of the optimal portfolio in nonlinear models of financial indexes // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2014. N 11. P. 1021–1034.
Aubin J.-P. Viability theory. New York, USA: Springer-Verlag, 1991. 342 p.
Ougolnitsky G. Sustainable management. New York, USA: Nova Science Publ. Hauppauge, 2011. 287 p.
Ширяев А. Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением // Современные проблемы математики. 2007. Вып. 8. С. 3–78.
Casella G., Robert C. P., Wells M. T. Generalized accept-reject sampling chemes // Institute of Mathematical Statistics. 2004. P. 342–347.
Камачкин А. М., Степенко Н. А., Хитров Г. М. К теории конструктивного построения линейного регулятора // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2020. Т. 16. Вып. 3. С. 326–344. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2020.309
References
Fishman G. {it Monte-Carlo: concepts, algorithms and applications}. New York, Springer Publ., 1995, 722 p.
Kudryavtsev O. Approximate Wiener — Hopf factorization and Monte-Carlo methods for Levy processes. {it Probability Theory and its Applications}, 2019, vol. 64(2), pp. 186–208.
Girsanov I. On the transformation of a class of random processes using a completely continuous measure replacement. {it Probability Theory and its Applications}, 1960, vol. 5, pp. 314–330.
Novikov А. Ob odnom tozhdestve dlia stokhasticheskikh integralov [On one identity for stochastic integrals]. Teoriia veroiatnostei i ee primeneniia [Probability Theory and its Applications], 1972, no. 4, pp. 761–765. (In Russian)
Kloeden P., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. New York, Springer Publ., 1995, 632 p.
Carr P. Randomization and American put. Rev. Financ. Stud., 1996, no. 11, pp. 597–626.
Kuznetsov A., Kyprianou A. E., Pardo J. C., van Schaik K. A Wiener — Hopf Monte-Carlo simulation technique for L'{e}vy processes. Ann. Appl. Prob., 2011, no. 21, pp. 2171–2190.
Ferreiro-Castilla A., Kyprianou A. E., Scheichl R., Suryanarayana G. Multilevel Monte-Carlo simulation for L'{e}vy processes based on the Wiener — Hopf factorization. Stoch. Process. Appl., 2014. no. 124, pp. 985–1010.
Beliavsky G., Danilova N., Ougolnitsky G. Calculation of probability of the exit of a stochastic process from a band by Monte-Carlo method: A Wiener — Hopf factorization. Mathematics, 2019, no. 7, pp. 581–597.
Beliavsky G. I., Danilova N. V. The combined Monte-Carlo method to calculate the capital of the optimal portfolio in nonlinear models of financial indexes. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2014, no. 11, pp. 1021–1034.
Aubin J.-P. Viability theory. New York, USA, Springer-Verlag Publ., 1991, 342 p.
Ougolnitsky G. Sustainable management. New York, USA, Nova Science Publ., Hauppauge, 2011, 287 p.
Shiryaev А. N. O martingal'nykh metodakh v zadachakh o peresechenii granits brounovskim dvizheniem [On martingale methods in problems of boundary crossing by Brownian motion]. Sovremennye problemy matematiki [Modern mathematics problems], 2007, iss. 8, pp. 3–78. (In Russian)
Casella G., Robert C. P., Wells M. T. Generalized accept-reject sampling chemes. Institute of Mathematical Statistics, 2004, pp. 342–347.
Kamachkin А. М., Stepenko N. А., Chitrov G. М. K teorii konstruktivnogo postroeniia lineinogo reguliatora [On the theory of constructive construction of a linear regulator]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Sciences. Control Processes, 2020, vol. 16, iss. 3, pp. 326–344. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2020.309 (In Russian)
Загрузки
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
