Клиринговая функция в контексте метода инвариантного многообразия

Алмаз Тлемисович Мустафин; Алия Кажбековна Кантарбаева

doi:10.21638/11701/spbu10.2023.205

Авторы

Алмаз Тлемисович Мустафин Казахский национальный исследовательский технический университет им. К. И. Сатпаева, Казахстан, 050013, Алматы, ул. Сатпаева, 22
Алия Кажбековна Кантарбаева Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, 050040, Алматы, пр. аль-Фараби, 71

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.205

Аннотация

Клиринговая функция (КФ) выражает зависимость выпуска от объема производственного ресурса, находящегося в работе (WIP). Применение КФ представляется многообещающим при моделировании для целей планирования такого показателя как время производственного цикла. В теории очередей аналитическое выражение для КФ выводится в предположении о стационарности процесса производства. Однако в связи с конечной продолжительностью планового периода возникает вопрос о корректности использования понятия КФ в неустановившемся режиме. В настоящей работе применяется альтернативный подход к построению механистической модели производственного цеха, занятого выпуском одного продукта из одного ресурса, которая основана на аналогии между работой машины и биологического фермента. Модель приводится к сингулярно возмущенной системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений для медленной (WIP) и быстрой (популяция занятых машин) переменных. Анализ этой разнотемповой системы показывает, что КФ есть не что иное как результат асимптотического разложения медленного инвариантного многообразия. Корректность использования КФ в конечном счете определяется малостью параметра, стоящего перед производной от быстрой переменной. Показано, что достаточно малое соотношение «машины : WIP» практически гарантирует применимость приближения КФ в нестационарном режиме работы производства.

Ключевые слова:

незавершенное производство, модель производства, квазистационарное приближение, сингулярные возмущения, ферментативный катализ

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

Литература

Vacanti D. When will it be done?: Lean-agile forecasting to answer your customers' most important question. La Vergne, TN: Lightning Source Inc., 2020. 308 p.

Little J. A proof for the queuing formula: L = lambda W // Operations Research. 1961. Vol. 9. N 3. P. 383-387. https://doi.org/10.1287/opre.9.3.383

Little J., Graves S. Little's law // Building intuition: Insights from basic operations management models and principles / ed. by D. Chhajed, T. Lowe. London: Springer, 2008. P. 81-100. https://doi.org/10.1007/978-0-387-73699-0_5

Armbruster D., Uzsoy R. Continuous dynamic models, clearing functions, and discrete-event simulation in aggregate production planning // New directions in informatics, optimization, logistics, and production. Tutorials in operations research / ed. by P. Mirchandani. INFORMS. 2012. P. 103-126. https://doi.org/10.1287/educ.1120.0102

Graves S. A tactical planning model for a job shop // Operations Research. 1986. Vol. 34. N 4. P. 522-533. https://doi.org/10.1287/opre.34.4.522

Karmarkar U. Capacity loading and release planning with work-in-progress (WIP) and lead-times // Journal of Manufacturing and Operations Management. 1989. Vol. 2. N 1. P. 105-123. https://www.iaorifors.com/paper/3710

Karmarkar U. Manufacturing lead times, order release and capacity loading // Logistics of production and inventory / ed. by S. Graves, A. Rinnooy Kan, P. Zipkin. Amsterdam: North-Holland Publishing, 1993. P. 287-329.

Srinivasan A., Carey M., Morton T. Resource pricing and aggregate scheduling in manufacturing systems: Working Paper N 88-89-58. Pittsburgh: Graduate School of Industrial Administration, Carnegie-Mellon University, 1988. 51 p. https://econpapers.repec.org/paper/cmugsiawp/88-89-58.htm

Missbauer H., Uzsoy R. Production planning with capacitated resources and congestion. New York: Springer, 2020. 295 p. https://doi.org/10.1007/978-1-0716-0354-3_7

Missbauer H. Order release planning with clearing functions: A queueing-theoretical analysis of the clearing function concept // International Journal of Production Economics. 2011. Vol. 131. N 1. P. 399-406. https://doi.org/10.1016/j.ijpe.2009.09.003

Armbruster D. The production planning problem: Clearing functions, variable lead times, delay equations and partial differential equations // Decision policies for production networks / ed. by D. Armbruster, K. Kempf. London: Springer, 2012. P. 289-302. https://doi.org/10.1007/978-0-85729-644-3_12

Корниш-Боуден Э. Основы ферментативной кинетики / пер. с англ. и предисл. Б. И. Курганова. М.: Мир, 1979. 280 с.

Georgescu-Roegen N. Analytical economics: Issues and problems. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1966. 434 p. https://doi.org/10.4159/harvard.9780674281639.c19

Колесова Г. И., Полетаев И. А. Некоторые вопросы исследования систем с лимитирующими факторами // Управляемые системы: сб. ст. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1969. Вып. 3. С. 71-80. http://nas1.math.nsc.ru/aim/journals/us/us3/us03_010.pdf

Романовский Ю. М., Степанова Н. М., Чернавский Д. С. Что такое математическая биофизика: Кинетические модели в биофизике. М.: Просвещение, 1971. 136 с.

Mustafin A. T. A bottleneck principle for techno-metabolic chains: Discussion Paper N 504. Kyoto: Institute of Economic Research, Kyoto University, 1999. 13 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.1708.04177

Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: Синергетика и самоорганизация. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 264 с.

Ponzi A., Yasutomi A., Kaneko K. A non-linear model of economic production processes // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2003. Vol. 324. N 1-2. P. 372-379. https://doi.org/10.1016/S0378-4371(02)01885-X

Niyirora J., Zhuang J. Fluid approximations and control of queues in emergency departments // European Journal of Operational Research. 2017. Vol. 261. N 3. P. 1110-1124. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2017.03.013

Мустафин А. Т., Кантарбаева А. К. Каталитическая модель массового обслуживания на примере циклической очереди // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2019. Т. 27. № 5. С. 53-71. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-53-71

Bradt L. The automated factory: Myth or reality? // Engineering: Cornell Quarterly. 1983. Vol. 17. N 3. P. 26-31. https://ecommons.cornell.edu/handle/1813/2422

Hopp W., Spearman M. Factory physics: Foundations of manufacturing management. 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 2008. 720 p.

Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 207 с.

Verhulst F. Methods and applications of singular perturbations: Boundary layers and multiple timescale dynamics. New York: Springer, 2005. 328 p.

Shchepakina E., Sobolev V., Mortel M. Singular perturbations. Introduction to system order reduction methods with applications. New York: Springer, 2014. 212 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-09570-7

Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. Т. 31(73). № 3. С. 575-586. https://www.mathnet.ru/links/448f715c3bfde9444fe634ffabd73075/sm5548.pdf

Johnson K., Goody R. The original Michaelis constant: Translation of the 1913 Michaelis-Menten paper // Biochemistry. 2011. Vol. 50. N 39. P. 8264-8269. https://doi.org/10.1021/bi201284u

Holling C. The components of predation as revealed by a study of small-mammal predation of the European pine sawfly // The Canadian Entomologist. 1959. Vol. 91. N 5. P. 293-320. https://doi.org/10.4039/ent91293-5

Monod J. The growth of bacterial cultures // Annual Review of Microbiology. 1949. Vol. 3. N 1. P. 371-394. https://doi.org/10.1146/annurev.mi.03.100149.002103

Whitt W. Time-varying queues // Queueing Models and Service Management. 2018. Vol. 1. N 2. P. 79-164. http://140.120.49.88/index.php/qmsm/article/view/33

References

Vacanti D. When will it be done?: Lean-agile forecasting to answer your customers' most important question. La Vergne, TN, Lightning Source Inc. Publ., 2020, 308 p.

Little J. A proof for the queuing formula: L = lambda W. Operations Research, 1961, vol. 9, no. 3, pp. 383-387. https://doi.org/10.1287/opre.9.3.383

Little J., Graves S. Little's law. Building intuition: Insights from basic operations management models and principles. Ed. by D. Chhajed, T. Lowe. London, Springer Publ., 2008, pp. 81-100. https://doi.org/10.1007/978-0-387-73699-0_5

Armbruster D., Uzsoy R. Continuous dynamic models, clearing functions, and discrete-event simulation in aggregate production planning. New directions in informatics, optimization, logistics, and production. Tutorials in operations research. Ed. by P. Mirchandan. INFORMS Publ., 2012, pp. 103-126. https://doi.org/10.1287/educ.1120.0102

Graves S. A tactical planning model for a job shop. Operations Research, 1986, vol. 34, no. 4, pp. 522-533. https://doi.org/10.1287/opre.34.4.522

Karmarkar U. Capacity loading and release planning with work-in-progress (WIP) and lead-times. Journal of Manufacturing and Operations Management, 1989, vol. 2, no. 1, pp. 105-123. https://www.iaorifors.com/paper/3710

Karmarkar U. Manufacturing lead times, order release and capacity loading. Logistics of production and inventory. Ed. by S. Graves, A. Rinnooy Kan, P. Zipkin. Amsterdam, North-Holland Publ., 1993, pp. 287-329.

Srinivasan A., Carey M., Morton T. Resource pricing and aggregate scheduling in manufacturing systems. Working Paper no. 88-89-58. Pittsburgh, Graduate School of Industrial Administration, Carnegie-Mellon University Publ., 1988, 51 p. https://econpapers.repec.org/paper/cmugsiawp/88-89-58.htm

Missbauer H., Uzsoy R. Production planning with capacitated resources and congestion. New York, Springer Publ., 2020, 295 p. https://doi.org/10.1007/978-1-0716-0354-3_7

Missbauer H. Order release planning with clearing functions: A queueing-theoretical analysis of the clearing function concept. International Journal of Production Economics, 2011, vol. 131, no. 1, pp. 399-406. https://doi.org/10.1016/j.ijpe.2009.09.003

Armbruster D. The production planning problem: Clearing functions, variable lead times, delay equations and partial differential equations. Decision policies for production networks. Ed. by D. Armbruster, K. Kempf. London, Springer Publ., 2012, pp. 289-302. https://doi.org/10.1007/978-0-85729-644-3_12

Cornish-Bowden A. Fundamentals of enzyme kinetics. 4th ed. Weinheim, Wiley-Blackwell Publ., 2012, 498 p. (Rus. ed.: Cornish-Bowden A. Osnovy fermentativnoi kinetiki. Moscow, Mir Publ., 1979, 280 p.)

Georgescu-Roegen N. Analytical economics: Issues and problems. Cambridge, MA, Harvard University Press, 1966, 434 p. https://doi.org/10.4159/harvard.9780674281639.c19

Kolesova G. I., Poletaev I. A. Nekotorye voprosy issledovaniia sistem s limitiruiushchimi faktorami [Selected problems in research of the systems with limiting factors]. Upravliaemye sistemy. Sb. st., vyp. 3 [ Controllable systems. Collected papers, iss. 3]. Novosibirsk, Institute of Mathematics, Siberian Branch of the USSR Academy of Sciences Publ., 1969, pp. 71-80. http://nas1.math.nsc.ru/aim/journals/us/us3/us03_010.pdf (In Russian)

Romanovskii Yu. M., Stepanova N. M., Chernavskii D. S. Chto takoe matematicheskaia biofizika: Kineticheskie modeli v biofizike [ What is mathematical biophysics: The kinetic models in biophysics ]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1971, 136 p. (In Russian)

Mustafin A. T. A bottleneck principle for techno-metabolic chains. Discussion Paper no. 504. Kyoto, Institute of Economic Research, Kyoto University Press, 1999, 13 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.1708.04177

Milovanov V. P. Neravnovesnye sotsial'no-ekonomicheskie sistemy: Sinergetika i samoorganizatsiia [ Nonequilibrium social-economic systems: Synergetics and self-organization ]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2001, 264 p. (In Russian)

Ponzi A., Yasutomi A., Kaneko K. A non-linear model of economic production processes. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2003, vol. 324, no. 1-2, pp. 372-379. https://doi.org/10.1016/S0378-4371(02)01885-X

Niyirora J., Zhuang J. Fluid approximations and control of queues in emergency departments. European Journal of Operational Research, 2017, vol. 261, no. 3, pp. 1110-1124. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2017.03.013

Mustafin A. T., Kantarbayeva A. K. Kataliticheskaiia model' massovogo obsluzhivaniia na primere tsiklicheskoi ocheredi [A catalytic model of service as applied to the case of a cyclic queue]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Prikladnaia nelineinaia dinamika [ Proceedings of Higher Educational Institutes. Applied Nonlinear Dynamics ], 2019, vol. 27, no. 5, pp. 53-71. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-53-71. (In Russian)

Bradt L. The automated factory: Myth or reality? Engineering: Cornell Quarterly, 1983, vol. 17, no. 3, pp. 26-31. https://ecommons.cornell.edu/handle/1813/2422

Hopp W., Spearman M. Factory physics: Foundations of manufacturing management. 3rd ed. New York, McGraw-Hill Publ., 2008, 720 p.

Vasil'eva A. B., Butuzov V. F. Asimptoticheskie metody v teorii singuliarnykh vozmushchenii [ Asymptotic methods in singular perturbations theory ]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1990, 207 p. (In Russian)

Verhulst F. Methods and applications of singular perturbations: Boundary layers and multiple timescale dynamics. New York, Springer Publ., 2005, 328 p.

Shchepakina E., Sobolev V., Mortel M. Singular perturbations. Introduction to system order reduction methods with applications. New York, Springer Publ., 2014, 212 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-09570-7

Tikhonov A. N. Sistemy differentsial'nykh uravnenii, soderzhashchie malye parametry pri proizvodnykh [Systems of differential equations containing small parameters at the derivatives]. Sbornik Mathematics, 1952, vol. 31(73), no. 3, pp. 575-586. https://www.mathnet.ru/links/448f715c3bfde9444fe634ffabd73075/sm5548.pdf (In Russian)

Johnson K., Goody R. The original Michaelis constant: Translation of the 1913 Michaelis - Menten paper. Biochemistry, 2011, vol. 50, no. 39, pp. 8264-8269. https://doi.org/10.1021/bi201284u

Holling C. The components of predation as revealed by a study of small-mammal predation of the European pine sawfly. The Canadian Entomologist, 1959, vol. 91, no. 5, pp. 293-320. https://doi.org/10.4039/ent91293-5

Monod J. The growth of bacterial cultures. Annual Review of Microbiology, 1949, vol. 3, no. 1, pp. 371-394. https://doi.org/10.1146/annurev.mi.03.100149.002103

Whitt W. Time-varying queues. Queueing Models and Service Management, 2018, vol. 1, no. 2, pp. 79-164. http://140.120.49.88/index.php/qmsm/article/view/33