Smooth approximations of nonsmooth convex functions

Людмила Николаевна Полякова

doi:10.21638/11701/spbu10.2022.408

Авторы

Людмила Николаевна Полякова Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

DOI:

https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2022.408

Аннотация

Используя операцию инфимальной конволюции, для произвольной негладкой выпуклой функции строится аппроксимирующее семейство непрерывно дифференцируемых выпуклых функций. Построенное аппроксимирующее семейство гладких выпуклых функций сходится по Куратовскому к рассматриваемой функции. Если множество определения данной функции компактно, то такие гладкие выпуклые приближения непрерывны в метрике Чебышева. Также рассматривается аппроксимация негладкого выпуклого множества семейством гладких выпуклых множеств.

Ключевые слова:

многозначное отображение, полунепрерывное отображение, сопряженная функция, сходимость по Куратовскому, операция инфимальной конволюции, гладкая аппроксимация

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Библиографические ссылки

References

Bertsekas P. Convex optimization theory. Belmont, MA, Athena Scientific Publ., 2009, 444 p.

Leichtweiss K. Konvexe mengen. Berlin, Springer-Verlag Publ., 1980, 330 p.

Rockafellar R. T. Convex analysis. Princeton, Princeton University Press, 1970, 472 p.

Zillober C. Convex approximation methods for practical optimization. Operations Research Proceedings. Eds. B. Fleischmann, R. Lasch, U. Derigs, W. Domschke, U. Rieder. Berlin, Heidelberg, Springer Publ., 2001, vol. 2000, pp. 20-25. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56656-1_4

Moreau J.-J. Proprietes des applications "prox". C. R. Acad. Sci. (Paris), 1963, vol. 256, pp. 1069-1071.

Moreau J.-J. Proximite et dualite dans un espace Hilbertien. Bull. Soc. Math. France , 1965, vol. 93, pp. 273-299.

Planiden C., Wang X. Strongly convex functions. Moreau envelopes and the generic nature of convex functions with strong minimizers. SIAM J. Optim., 2016, vol. 26 (2), pp. 1341-1364. https://doi.org/10.1137/15M1035550

Wijsman R. A. Convergence of sequences of convex sets, cones, and functions. II. Trans. Amer. Math. Soc., 1966, vol. 123, pp. 32-45.

Beer G. On convergence of closed sets in a metric space and distance functions. Bull. Australian Math. Soc., 2009, vol. 31, pp. 421-432. https://doi.org/10.1017/S0004972700009370

Kuratowski K. Topologie I et II. Warszawa, Panstwowe Wydawnictwa Naukowe Publ., 1961, 528 p. (PWN Monogr. Mat.)

Polyakova L. N. O gladkoi approksimatsii vypuklykh funktsii [On a smooth approximation of convex funchions]. VIII Moscow Internation Conference on Operations Research ( ORM2016 ). Moscow, MAKS Press, 2016, pp. 58-61. (In Russian)