Математическое моделирование изгиба защемленной по контуру тонкой ортотропной пластины
DOI:
https://doi.org/10.21638/spbu10.2024.301Аннотация
В рамках теории Кирхгофа предложен новый подход к построению решения задачи моделирования изгиба защемленной по контуру тонкой прямоугольной ортотропной пластины, которая находится под действием нормально распределенной по ее поверхности нагрузки. Решение неоднородного бигармонического уравнения для ортотропной пластины получено в виде частичной суммы двойного ряда по многочленам Чебышёва первого рода. Для нахождения коэффициентов в этом разложении краевая задача методом коллокации сведена к системе линейных алгебраических уравнений в матричной форме с применением свойств этих многочленов. На основе матричных и дифференциальных преобразований получены выражения изгибающих моментов и перерезывающих сил. Представлены результаты вычислений изгиба срединной поверхности пластины при различном действии нагрузки на пластину, которые демонстрируют эффективность предложенного подхода.
Ключевые слова:
метод коллокации, бигармоническое уравнение, многочлены Чебышёва первого рода, изгиб тонкой ортотропной пластины
Скачивания
Библиографические ссылки
Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S. Theory of plates and shells. New York: McGraw-Hill Press, 1959. 580 p.
Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П. Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18. № 6. С. 31–43.
Шапеев В. П., Брындин Л. С., Беляев В. А. hp-Вариант метода коллокации и наименьших квадратов с интегральными коллокациями решения бигармонического уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. 2022. Т. 26. № 3. С. 556–572. https://doi.org/10.14498/vsgtu1936
Голоскоков Д. П., Матросов А. В. Метод начальных функций в расчете изгиба защемленной по контуру тонкой ортотропной пластинки // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2021. Т. 17. Вып. 4. C. 330–344. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2021.402
Lakshmi G. V. R., Gupta N. Bending of fully clamped orthotropic rectangular thin plates using finite continuous ridgelet transform // Materials Today: Proceedings. 2021. Vol. 47. P. 4199–4205. https://doi.org/10.1016/j.matpr.2021.04.458
Li R., Zhong Y., Tian B., Liu Y. On the finite integral transform method for exact bending solutions of fully clamped orthotropic rectangular thin plates // Applied Mathematics Letters. 2009. Vol. 22. P. 1821–1827. https://doi.org/10.1016/j.aml.2009.07.003
Xu Q., Yang Z., Ullah S., Jinghui Z., Gao Y. Analytical bending solutions of orthotropic rectangular thin plates with two adjacent edges free and the others clamped or simply supported using finite integral transform method // Advances in Civil Engineering. 2020. P. 1–11. https://doi.org/10.1155/2020/8848879
Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к решению задач механики анизотропных слоистых пластин // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19. № 5. С. 24–36.
Хлуднев А. М. О равновесии пластины с тонким жестким включением и свободным краем // Математические заметки Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова. 2021. Т. 28. Вып. 3. C. 105–120. https://doi.org/10.25587/SVFU.2021.64.10.007
Markous N. A. Boundary mesh free method with distributed sources for Kirchhoff plate bending problems // Applied Mathematical Modelling. 2021. Vol. 94. P. 139–151. https://doi.org/10.1016/j.apm.2021.01.015
Zhou Y., Huang K. On simplified deformation gradient theory of modified gradient elastic Kirchhoff–Love plate // European Journal of Mechanics. A Solids. 2023. Vol. 100. Art. N 105014. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2023.105014
Бахарев Ф. Л., Назаров С. А. Асимптотика собственных чисел длинных пластин Кирхгофа с защемленными краями // Математический сборник. 2019. Т. 210. № 4. С. 3–26. https://doi.org/10.4213/sm9008
Назаров С. А. Осреднение пластин Кирхгофа с осциллирующими кромками и точечными опорами // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. Вып. 4. С. 110–168. https://doi.org/10.4213/im8854
Гомес Д., Назаров С. А., Перес М.-Е. Точечное крепление пластины Кирхгофа вдоль ее кромки // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН. 2020. Т. 493. С. 107–137.
Голоскоков Д. П., Матросов А. В., Олемской И. В. Изгиб защемленной тонкой изотропной пластины методом Канторовича с использованием специальных полиномов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2023. Т. 19. Вып. 4. C. 423–442. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.401
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: учебник. 9-е изд. М.: Лаборатория знаний, 2020. 636 с.
Ventsel E., Krauthammer Th. Thin plates and shells. Theory: analysis and applications. Boca Raton: CRC Press, 2001. 688 p.
Liu S., Trenkler G. Hadamard, Khatri–Rao, Kronecker and other matrix products // International Journal of Information and Systems Sciences. 2008. Vol. 4. N 1. P. 160–177.
Shen J., Tang T., Wang L. Spectral methods. Heidelberg; Berlin: Springer, 2011. 472 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-71041-7
Mason J., Handscomb D. Chebyshev polynomials. Boca Raton: CRC Press, 2003. 360 p.
Laureano R. W., Mantari J. L., Yarasca J., Oktem A. S., Monge J., Zhou X. Boundary discontinuous Fourier analysis of clamped isotropic and cross-ply laminated plates via Unified Formulation // Composite Structures. 2024. Vol. 328. Art. N 117736. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2023.117736
References
Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S. Theory of plates and shells. New York, McGraw-Hill Press, 1959, 580 p.
Golushko S. K., Idimeshev S. V., Shapeev V. P. Metod kollokatsii i naimen'shikh neviazok v prilozhenii k zadacham mekhaniki izotropnykh plastin [Application of collocations and least residuals method to problems of the isotropic plates theory]. Computational Technologies, 2013, vol. 18, no. 6, pp. 31–43. (In Russian)
Shapeev V. P., Bryndin L. S., Belyaev V. A. hp-Variant metoda kollokatsii i naimen'shikh kvadratov s integral'nymi kollokatsiiami reshenia bigarmonicheskogo uravnenia [The hp-version of the least-squares collocation method with integral collocation for solving a biharmonic equation]. Journal of Samara State Technical University. Series Physical and Mathematical Sciences, 2022, vol. 26, no. 3, pp. 556–572. https://doi.org/10.14498/vsgtu1936 (In Russian)
Goloskokov D. P., Matrosov A. V. Metod nachal'nykh funktsii v raschete izgiba zashchemlennoi po konturu tonkoj ortotropnoj plastinki [The method of initial functions in calculating the bending of a thin orthotropic plate clamped along the contour]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2021, vol. 17, iss. 4, pp. 330–344. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2021.402 (In Russian)
Lakshmi G. V. R., Gupta N. Bending of fully clamped orthotropic rectangular thin plates using finite continuous ridgelet transform. Materials Today: Proceedings, 2021, vol. 47, pp. 4199–4205. https://doi.org/10.1016/j.matpr.2021.04.458
Li R., Zhong Y., Tian B., Liu Y. On the finite integral transform method for exact bending solutions of fully clamped orthotropic rectangular thin plates. Applied Mathematics Letters, 2009, vol. 22, pp. 1821–1827. https://doi.org/10.1016/j.aml.2009.07.003
Xu Q., Yang Z., Ullah S., Jinghui Z., Gao Y. Analytical bending solutions of orthotropic rectangular thin plates with two adjacent edges free and the others clamped or simply supported using finite integral transform method. Advances in Civil Engineering, 2020, pp. 1–11. https://doi.org/10.1155/2020/8848879
Golushko S. K., Idimeshev S. V., Shapeev V. P. Razrabotka i primenenie metoda kollokatsii i naimen'shikh neviazok k resheniyu zadach mekhaniki anizotropnykh sloistykh plastin [Development and application of collocations and least residuals method to the solution of problems in mechanics of anisotropic laminated plates]. Computational Technologies, 2014, vol. 19, no. 5, pp. 24–36. (In Russian)
Khludnev A. M. O ravnovesii plastiny s tonkim zhestkim vkliucheniem i svobodnym kraem [Equilibrium problems for elastic plate with thin rigid inclusion and free edge]. Mathematical notes of M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 2021, vol. 28, no. 3, pp. 105–120. https://doi.org/10.25587/SVFU.2021.64.10.007 (In Russian)
Markous N. A. Boundary mesh free method with distributed sources for Kirchhoff plate bending problems. Applied Mathematical Modelling, 2021, vol. 94, pp. 139–151. https://doi.org/10.1016/j.apm.2021.01.015
Zhou Y., Huang K. On simplified deformation gradient theory of modified gradient elastic Kirchhoff–Love plate. European Journal of Mechanics a Solids, 2023, vol. 100, art. no. 105014. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2023.105014
Bakharev F. L., Nazarov S. A. Asimptotika sobstvennykh chisel dlinnykh plastin Kirkhgofa s zashchemlennymi kraiami [Eigenvalue asymptotics of long Kirchhoff plates with clamped edges]. Matematicheskii Sbornik, 2019, vol. 210, no. 4, pp. 3–26. https://doi.org/10.4213/sm9008 (In Russian)
Nazarov S. A. Osrednenie plastin Kirhgofa s ostsilliruiushchimi kromkami i tochechnymi oporami [Homogenization of Kirchhoff plates with oscillating edges and point supports]. Izvestia Rossiiskoi akademii nauk. Seria Matematicheskaya [Proceedings of Russian Academy of Sciences. Series Mathematical], 2020, vol. 84, iss. 4, pp. 110–168. https://doi.org/10.4213/im8854 (In Russian)
Gomez D., Nazarov S. A., Perez M.-E. Tochechnoe kreplenie plastiny Kirhgofa vdol’ ee kromki [Pointwise fixation along the edge of the Kirchhoff plate]. Zapiski nauchnykh seminarov Sankt-Peterburgskogo otdeleniia Matematicheskogo instituta im. V. A. Steklova RAN [ Transactions of Scientifics seminars of St. Petersburg Department of V. A. Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences], 2020, vol. 493, pp. 107–137. (In Russian)
Goloskokov D. P., Matrosov A. V., Olemskoy I. V. Izgib zashchemlennoi tonkoi izotropnoi plastiny metodom Kantorovicha s ispol'zovaniem spetsial'nykh polinomov [Bending of a clamped thin isotropic plate by the Kantorovich method using special polynomials]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2023, vol. 19, iss. 4, pp. 423–442. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2023.401 (In Russian)
Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Chislennye metody [Numerical methods]. 9th ed. Moscow, Laboratoria znanii Publ., 2020, 636 p. (In Russian)
Ventsel E., Krauthammer Th. Thin plates and shells. Theory: Analysis and applications. Boca Raton, CRC Press, 2001, 688 p.
Liu S., Trenkler G. Hadamard, Khatri–Rao, Kronecker and other matrix products. International Journal of Information and Systems Sciences, 2008, vol. 4, no. 1, pp. 160–177.
Shen J., Tang T., Wang L. Spectral methods. Heidelberg, Berlin, Springer, 2011, 472 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-71041-7
Mason J., Handscomb D. Chebyshev polynomials. Boca Raton, CRC Press, 2003, 360 p.
Laureano R. W., Mantari J. L., Yarasca J., Oktem A. S., Monge J., Zhou X. Boundary discontinuous Fourier analysis of clamped isotropic and cross-ply laminated plates via unified formulation. Composite Structures, 2024, vol. 328, art. no. 117736. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2023.117736
Загрузки
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Лицензия
Статьи журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления» находятся в открытом доступе и распространяются в соответствии с условиями Лицензионного Договора с Санкт-Петербургским государственным университетом, который бесплатно предоставляет авторам неограниченное распространение и самостоятельное архивирование.
