Об устойчивости нулевого решения относительно части переменных по линейному приближению

Аннотация

Получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости относительно части переменных нулевого решения нелинейной системы по линейному приближению в случае, когда матрица линейного приближения может содержать собственные значения с нулевыми вещественными частями, причем алгебраические и геометрические кратности этих собственных значений могут не совпадать. Подход основан на установлении некоторого соответствия между решениями исследуемой системы и ее линейного приближения. В данном случае начинающиеся в достаточно малой окрестности нуля решения таких систем и сами системы обладают одинаковыми покомпонентными асимптотическими свойствами. Для решений такими свойствами являются устойчивость и асимптотическая устойчивость по отношению к части переменных, а для систем — покомпонентная локальная асимптотическая эквивалентность и покомпонентное локальное асимптотическое равновесие. Рассматривая соответствие между решениями систем как оператор, определенный в банаховом пространстве, на основании принципа Шаудера доказывается, что он имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Оператор позволяет построить отображение, устанавливающее соотношение между начальными точками исследуемой системы и ее линейного приближения. Далее на основе оценок элементов строк фундаментальной матрицы линейного приближения делается заключение о покомпонентных асимптотических свойствах решений нелинейной системы. Приведен пример изучения устойчивости и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных нулевого решения нелинейной системы, матрица линейного приближения которой содержит одно отрицательное и одно нулевое собственные значения, причем алгебраическая и геометрическая кратности нулевого собственного значения не совпадают.

Ключевые слова:

обыкновенные дифференциальные уравнения, частичная устойчивость, локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность, принцип Шаудера