Матрицы Ляпунова для класса систем с экспоненциальным ядром

Аннотация

Проблема нахождения матриц Ляпунова возникает при анализе устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием с помощью метода функционалов Ляпунова—Красовского. Матрица Ляпунова есть решение матричного дифференциального уравнения с запаздыванием, удовлетворяющим двум дополнительным условиям. Известно, что условием существования и единственности матриц Ляпунова является условие Ляпунова, т. е. отсутствие у системы собственных чисел, расположенных симметрично относительно нуля комплексной плоскости. В то же время методы построения матриц Ляпунова разработаны лишь для некоторых классов систем. В данной работе рассматриваются системы уравнений с распределенным запаздыванием, имеющие экспоненциальное интегральное ядро. Они уже описывались в статье В. Л. Харитонова, где задача нахождения матриц Ляпунова была сведена к получению решений вспомогательной системы дифференциальных уравнений без запаздывания с граничными условиями. Предложенные ранее граничные условия не обеспечивают единственности решения вспомогательной системы, а полученные В. Л. Харитоновым результаты не гарантируют, что решение вспомогательной системы позволит построить матрицу Ляпунова. Эти проблемы существенно отличают данный класс систем от хорошо изученного класса систем с одним запаздыванием и возникают вследствие неоднозначности выбора граничных условий для вспомогательной системы. В настоящей статье вводятся новые граничные условия, которые позволяют построить теорию, полностью аналогичную случаю систем с одним запаздыванием. Показывается, что решение вспомогательной системы с новыми граничными условиями позволяет построить матрицу Ляпунова. Устанавливается эквивалентность существования и единственности решения вспомогательной системы и условия Ляпунова. Таким образом, проверка существования и единственности матрицы Ляпунова может быть произведена в процессе ее построения. Библиогр. 12 назв.

Ключевые слова:

системы с запаздыванием, матрица Ляпунова