Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления

Применение неявного метода Эйлера для дискретизации некоторых классов нелинейных систем

Александр Юрьевич Александров — 2023-10-21

Исследуется проблема сохранения устойчивости при дискретизации некоторых классов систем нелинейных дифференциальных уравнений. Рассматриваются системы Персидского, системы Лурье непрямого управления и системы, правые части которых имеют каноническую структуру. Предполагается, что нулевые решения этих систем глобально асимптотически устойчивы. Определяются условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевых решений соответствующих разностных систем. Ранее такие условия были установлены для случая, когда дискретизация проводилась с помощью явного метода Эйлера. В данной работе разностные схемы строятся на основе неявного метода Эйлера. Для полученных дискретных систем доказаны теоремы о локальной и глобальной асимптотической устойчивости, выведены оценки времени переходных процессов. Для систем с канонической структурой правых частей на основе подхода В. И. Зубова предложена модифицированная неявная вычислительная схема, обеспечивающая согласование скорости сходимости решений к началу координат для дифференциальной и соответствующей разностной систем. Показано, что неявные вычислительные схемы могут гарантировать сохранение асимптотической устойчивости при менее жестких ограничениях на шаг дискретизации и правые части рассматриваемых систем по сравнению с ограничениями, полученными с использованием явного метода. Приводится пример, иллюстрирующий установленные теоретические выводы.

Устойчивость системы типа Лурье с асинхронными и синхронными переключениями и постоянными запаздываниями

Наталья Романовна Андриянова — 2023-10-21

Задачи анализа систем с синхронными и асинхронными переключениями активно изучались для линейного случая. В данной работе рассматривается система дифференциально-разностных уравнений с переключениями, у которой правая часть состоит из линейного слагаемого и существенно нелинейной части, содержащей компоненты секторного типа. Такого рода системы относятся к классу систем непрямого регулирования Лурье. Исследуются достаточные условия на параметры системы и закон переключения, гарантирующие асимптотическую устойчивость в случае как синхронного переключения между подсистемами, так и асинхронного, т. е. когда нелинейная запаздывающая часть переключается с задержкой, равной соответствующему запаздыванию. При этом требуется, чтобы устойчивость сохранялась при любых постоянных положительных запаздываниях. Задача решается с помощью подхода Ляпунова — Красовского. Выбран функционал, включающий в себя квадратичную форму и интегралы от нелинейностей. Найдены ограничения, обеспечивающие асимптотическую устойчивость для произвольного закона переключения, которые для асинхронного случая при таком подходе оказываются более слабыми. Получены также ограничения на длины промежутков между переключениями при использовании составных функционалов. Такого типа условия аналогичны для случая синхронных и асинхронных переключений. Теоретические результаты проиллюстрированы на специально подобранном примере.

Деформация плоскости из материала Джона с жестким эллиптическим включением, нагруженным силой и моментом

Юлия Вениаминовна Малькова — 2023-10-22

Получено точное аналитическое решение нелинейной задачи теории упругости для плоскости с жестким эллиптическим включением. В центре включения приложены сосредоточенная сила и (или) крутящий момент. Упругие свойства плоскости моделируются гармоническим материалом Джона. Номинальные (условные) напряжения и перемещения выражены через две аналитические функции комплексной переменной, которые определяются из граничных условий на контуре эллипса. Выполнены расчеты номинальных напряжений на контуре соединения плоскости со включением.

Теоретические основы решения задач поиска методом максимума энтропии

Александр Николаевич Прокаев — 2023-10-23

Традиционной задачей теории поиска является разработка плана поиска физического объекта в море или на суше. Известные алгоритмы оптимального распределения поисковых ресурсов используют преимущественно экспоненциальную функцию обнаружения. Если рассматривать задачу поиска шире — как задачу поиска информации различного вида, то функция обнаружения может существенно отличаться от экспоненциальной.
В этом случае решения, полученные с помощью традиционных алгоритмов, могут быть корректными с точки зрения математики, но неприемлемыми с точки зрения логики. В данной работе указанная проблема решается на основе принципа максимума энтропии. Приведено доказательство теорем, а также следствий из них для функций обнаружения четырех видов, позволяющих создать алгоритмы решения различных задач поиска на основе принципа максимума энтропии.

Исследование возможности заключения договора страхования с учетом функции полезности

Александр Валерьевич Сачков — 2023-10-23

Рассмотрена задача исследования возможности заключения договора страхования с учетом функции полезности денег клиента. С использованием базовой модели проведены расчеты, предлагаемая формула опробована для двух функций полезности, соответствующих крайним децильным группам индивидов (по доходам). Сделаны выводы, предложены дальнейшие направления исследования.

Об устойчивости нулевого решения относительно части переменных по линейному приближению

Павел Анатольевич Шаманаев — 2023-10-23

Получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости относительно части переменных нулевого решения нелинейной системы по линейному приближению в случае, когда матрица линейного приближения может содержать собственные значения с нулевыми вещественными частями, причем алгебраические и геометрические кратности этих собственных значений могут не совпадать. Подход основан на установлении некоторого соответствия между решениями исследуемой системы и ее линейного приближения. В данном случае начинающиеся в достаточно малой окрестности нуля решения таких систем и сами системы обладают одинаковыми покомпонентными асимптотическими свойствами. Для решений такими свойствами являются устойчивость и асимптотическая устойчивость по отношению к части переменных, а для систем — покомпонентная локальная асимптотическая эквивалентность и покомпонентное локальное асимптотическое равновесие. Рассматривая соответствие между решениями систем как оператор, определенный в банаховом пространстве, на основании принципа Шаудера доказывается, что он имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Оператор позволяет построить отображение, устанавливающее соотношение между начальными точками исследуемой системы и ее линейного приближения. Далее на основе оценок элементов строк фундаментальной матрицы линейного приближения делается заключение о покомпонентных асимптотических свойствах решений нелинейной системы. Приведен пример изучения устойчивости и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных нулевого решения нелинейной системы, матрица линейного приближения которой содержит одно отрицательное и одно нулевое собственные значения, причем алгебраическая и геометрическая кратности нулевого собственного значения не совпадают.

Microgrid control for renewable energy sources based on deep reinforcement learning and numerical optimization approaches

Анастасия Юрьевна Жадан — 2023-10-21

Оптимальное планирование работы аккумуляторной системы хранения энергии играет важную роль в распределенной энергетической системе. Как метод, основанный на данных, глубокое обучение с подкреплением не требует наличия системных знаний о динамической системе, позволяя найти оптимальное решение для нелинейной задачи оптимизации. В данном исследовании финансовые затраты на потребление энергии снижены за счет планирования энергии аккумуляторов с использованием метода глубокого обучения с подкреплением (RL). Обучение с подкреплением может адаптироваться к изменениям параметров оборудования и шумам в данных, в то время как смешанно-целочисленное линейное программирование (MILP) требует высокой точности прогнозирования выработки и спроса на электроэнергию, точных параметров оборудования для достижения хорошей производительности а также больших вычислительных затрат для крупномасштабных промышленных приложений. Исходя из этого, можно предположить, что решение на основе глубокого RL способно превзойти классическую детерминированную модель оптимизации MILP. В данном исследовании сравниваются четыре современных RL-алгоритма для задачи управления аккумуляторной электростанцией: PPO, A2C, SAC, TD3. Согласно результатам моделирования, TD3 показывает наилучшие результаты, превосходя MILP на 5% по экономии средств, а время решения задачи сокращается примерно в три раза.

Оптимальное управление тепловыми и волновыми процессами в слоистых композитных материалах

Алексей Петрович Жабко — 2023-10-23

В работе указаны подход и соответствующий ему метод штрафных функций для анализа задач оптимального управления тепловыми и волновыми процессами в элементах конструкций из композитных материалов (композитов). Рассматривается объект, достаточно часто встречающийся в промышленной сфере, структура которого представляет собой совокупность слоев (фаз) из однонаправленных композитов, — слоистые композиты. При решении задач, связанных с анализом и описанием состояний композитов, обычно используют количественные характеристики слоев, которые не являются функциями координат точек среды, с тем, чтобы не решать соответствующие задачи для неоднородной среды. К таким функциям относятся элементы соболевских пространств, прежде всего суммируемые с квадратом функции. Удобство состоит в том, что при отыскании условий разрешимости начально-краевых задач различного типа (в большинстве случаев такие задачи есть основа математических моделей многих физических процессов) возможна редукция к операторно-разностным системам, для которых несложно построить априорные оценки слабых решений. Следующий шаг после установления слабой разрешимости начально-краевой задачи теплового или волнового процесса в композитах — постановка и решение задачи оптимального управления этими процессами. Предлагаемый метод штрафных функций на примере решения данной задачи является общим методом. Он применим с небольшими видоизменениями также не только в случае эллиптических, параболических и других задач (в том числе нелинейных) для скалярных функций, но и для векторных функций. Пример последнего — широко используемая в описании сетеподобных гидродинамических процессов система Навье — Стокса, рассматриваемая в пространствах Соболева, элементами которых служат функции с носителями на n-мерных сетеподобных областях, n больше либо равно 2.